Kararlı Durumların Süperpozisyonu ve Zaman Evrimi
Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin çözümleri $\psi_n$ ise genel çözüm $\Psi(x,t) = \sum_n c_n\,\psi_n(x)\,e^{-iE_nt/\hbar}$ şeklindedir. Tek bir kararlı durumda $|\Psi|^2$ zamanla değişmez; yalnızca bir genel faz döner. İki ya da daha fazla durum karıştırıldığında ise çapraz terimler $e^{-i(E_m-E_n)t/\hbar}$ frekansıyla salınır ve olasılık yoğunluğu "çalkalanır".
Normlama: $\sum_n |c_n|^2 = 1$. Enerji ölçümünde $E_n$ değeri $|c_n|^2$ olasılıkla çıkar; $\langle E\rangle = \sum_n |c_n|^2E_n$ zamandan bağımsızdır. Birimler: $\hbar = m = 1$; sonsuz kuyuda $L = 1$ ($E_n = n^2\pi^2/2$), harmonik salınıcıda $\omega = 1$ ($E_n = n + \tfrac12$).
Olasılık akımı
$j(x,t) = \dfrac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left(\Psi^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}\right)$ ve süreklilik denklemi $\partial_t|\Psi|^2 + \partial_x j = 0$. Gerçel bir kararlı durumda $j = 0$ dır.
Katsayılar
Hesaplama
Bunu dene
1. Yalnızca $|c_1| \ne 0$ olsun. Başlatın: Re Ψ ve Im Ψ değişiyor mu? $|\Psi|^2$ ve $\langle x\rangle$ ne yapıyor?
Açıklama
2. Sonsuz kuyuda $|c_1| = |c_2|$, fazlar sıfır olsun. $\langle x\rangle$'in salınım periyodunu ve genliğini ölçün.
Açıklama
3. Sonsuz kuyuda dört katsayıyı rastgele seçin, $t=0$'daki $|\Psi|^2$ biçimini not edin ve $t = T_{\text{yc}} = 4mL^2/\pi\hbar \approx 1.273$ anına kadar bekleyin. $t = T_{\text{yc}}/2$'de ne görüyorsunuz?