Ana sayfa › Kuantum Mekaniği I › Serbest Parçacık · Belirsizlik · Saçılma ve Tünelleme

Dalga Paketi: Yayılma, Saçılma ve Tünelleme

Serbest parçacığın enerji özdurumları düzlem dalgalardır ve normlanamazlar; gerçek bir parçacık farklı $k$ değerlerinin süperpozisyonu olan bir dalga paketi ile temsil edilir. Burada başlangıç dalga fonksiyonu $\psi(x,0) \propto e^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}e^{ik_0x}$ olan bir Gauss paketidir: konum belirsizliği $\sigma$, momentum belirsizliği $\hbar/2\sigma$.

Zaman evrimi, zamana bağlı Schrödinger denkleminin Crank–Nicolson yöntemiyle sayısal çözümüdür (normu koruyan, kararlı bir şema). Ekranın iki ucundaki gri bölgeler dalgayı yansıtmadan soğurur. Birimler: $\hbar = m = 1$; böylece $E = k^2/2$ ve grup hızı $v_g = k_0$.

Geçiş ve yansıma katsayıları

Düzlem dalga için $T$ ve $R$ akı oranlarıdır, $T + R = 1$. Paket için ölçülen değer, paketin içerdiği her $k$ bileşeninin $T(k)$ değerinin ağırlıklı ortalamasıdır. Bu nedenle dar (küçük $\sigma$) bir paket geniş bir enerji aralığını örnekler ve sonucu tek bir $T(E_0)$'dan farklı olabilir.

Durum:

Parametreler

Re ψ'yi de göster

Bir parametreyi değiştirmek paketi başa alır. Turuncu kesikli çizgi paketin ortalama enerjisi E₀'dır.

Hesaplama

Bunu dene

1. Serbest yayılma modunda $\sigma = 1$ ve $\sigma = 3$ için $t = 10$'daki $\Delta x$'i ölçün. Hangi paket daha hızlı yayılıyor?

Açıklama

$\Delta x(t) = \sigma\sqrt{1 + (t/2\sigma^2)^2}$: $\sigma = 1$ için $\Delta x(10) = 5.10$, $\sigma = 3$ için $3.43$. Başlangıçta dar olan paketin momentum belirsizliği ($\hbar/2\sigma$) büyük olduğundan daha hızlı dağılır.

2. Dikdörtgen bariyerde $V_0 = 2.5$, $k_0 = 2$ ($E_0 = 2 < V_0$) seçin. $a = 1$ ve $a = 2$ için geçiş olasılığını ölçün.

Açıklama

Düzlem dalga formülü $T(E_0)$: $a = 1$ için $0.317$, $a = 2$ için $0.046$. Bariyer kalınlığı iki katına çıkınca $T$ yaklaşık $e^{-2\kappa a}$ ile ($\kappa = 1$) yedi kat küçülür. Paket için ölçülen değerler ($\sigma = 3$) $\approx 0.32$ ve $\approx 0.07$'dir: kalın bariyerde fark belirgindir, çünkü paketteki yüksek enerjili bileşenler çok daha kolay tünellenir ve ortalamayı yukarı çeker.

3. Basamak potansiyelinde $V_0 = 1.5$, $k_0 = 2$ ($E_0 = 2 > V_0$) seçin. Paketin ne kadarı yansıyor? Sonra $V_0 = 3$ yapın.

Açıklama

$k_1 = 2$, $k_2 = \sqrt{2(E-V_0)} = 1$ ⇒ $T = 4k_1k_2/(k_1+k_2)^2 = 0.889$, $R = 0.111$: enerji yeterli olsa bile yansıma vardır. Paket için ölçülen geçiş biraz daha düşüktür ($\approx 0.81$) çünkü paketin enerji dağılımının bir kısmı $V_0$'ın altında kalır ve tamamen yansır. $V_0 = 3$ için $E_0 < V_0$ ve paket tamamen yansır ($R \approx 1$), ama yansımadan önce dalga fonksiyonu basamağın içine kısa bir mesafe sızar.

Kuantum Mekaniği I dersindeki diğer simülasyonlar

Potansiyel Kuyuları ve Kararlı Durumlar Süperpozisyon ve Zaman Evrimi Hidrojen Atomu: Dalga Fonksiyonları Spin ve Açısal Momentum Toplama