Hidrojen Atomu: Dalga Fonksiyonları ve Orbitaller
Coulomb potansiyeli küresel simetrik olduğundan Schrödinger denkleminin çözümleri radyal ve açısal kısımlara ayrılır: $\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = R_{n\ell}(r)\,Y_\ell^m(\theta,\phi)$. Enerji yalnızca baş kuantum sayısına bağlıdır:
$$E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2},\qquad \ell = 0,1,\dots,n-1,\qquad m = -\ell,\dots,\ell$$Bir kabuktaki uzaysal durum sayısı $n^2$'dir (spin ile $2n^2$). Elektronun çekirdekten $r$ ile $r+dr$ arasında bulunma olasılığı $P(r)\,dr = r^2R_{n\ell}^2\,dr$ ile verilir. $R_{n\ell}$'nin $n-\ell-1$ radyal düğümü, $Y_\ell^m$'nin ise $\ell$ açısal düğümü vardır.
Karmaşık ve gerçel orbitaller
$Y_\ell^m \propto e^{im\phi}$ olduğundan $|\psi_{n\ell m}|^2$ $z$ ekseni etrafında simetriktir. Kimyada kullanılan $p_x,\ p_y,\ d_{xy}\dots$ orbitalleri $m$ ve $-m$ durumlarının gerçel bileşimleridir: $Y \propto \cos m\phi$ veya $\sin m\phi$. Bunlar da aynı enerjiye sahiptir ama $L_z$'nin özdurumu değildir. Gerçel orbital kipinde renk, dalga fonksiyonunun işaretini (fazını) gösterir.
Kuantum sayıları
Yoğunluk haritasına tıklayarak o noktadaki $|\psi|^2$ değerini görün. 3B nokta bulutunu fareyle sürükleyerek döndürebilir, tekerlekle yakınlaştırabilirsiniz.
Hesaplama
Bunu dene
1. 1s durumunu ($n=1,\ \ell=0$) seçin. Radyal olasılık $P(r)$ hangi yarıçapta en büyüktür? Ortalama uzaklık $\langle r\rangle$ ile karşılaştırın. Elektronun $r < a_0$ bölgesinde bulunma olasılığı nedir?
Açıklama
2. 2s ve 2p durumlarını karşılaştırın. Hangisinin radyal düğümü var, nerede? Hangisinde elektron ortalamada çekirdeğe daha yakındır?
Açıklama
3. $n = 3$ için tüm ($\ell, m$) bileşimlerini sayın. Ardından $3d$, $m=0$ ($d_{z^2}$) durumunu seçin. Açısal dağılım hangi açılarda sıfır olur?