Ana sayfa › Kuantum Mekaniği I › Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi · Kararlı Durumlar

Potansiyel Kuyuları ve Kararlı Durumlar

Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi''(x) + V(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x)$ bağlı durumlar için yalnızca belirli (kesikli) $E_n$ değerlerinde, sonsuzda sıfıra giden çözümlere sahiptir. Bu simülasyon denklemi bir sayısal deney olarak çözer: $x$ ekseni eşit aralıklı noktalara bölünür, ikinci türev sonlu farklarla yazılır ve ortaya çıkan matrisin özdeğerleri bulunur. Sonuçlar, bilinen analitik çözümlerle yan yana gösterilir.

Birimler: $\hbar = m = 1$ (doğal birimler). Bu birimlerde $-\tfrac12\psi'' + V\psi = E\psi$ olur; örneğin sonsuz kuyu için $E_n = n^2\pi^2/2L^2$, harmonik salınıcı için $E_n = \omega(n+\tfrac12)$.

Beklenen değerler ve belirsizlik

Gerçel bir kararlı durum için $\langle p\rangle = 0$ ve $\langle p^2\rangle = -\hbar^2\int\psi\,\psi''\,dx$ dir. $\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$, $\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle}$ ile Heisenberg eşitsizliği $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ her durum için sağlanmalıdır; eşitlik yalnızca harmonik salınıcının taban durumunda (Gauss fonksiyonu) gerçekleşir.

Potansiyel:

Parametreler

Gösterilen durum n

ψₙ(x) dalga fonksiyonu |ψₙ(x)|² olasılık yoğunluğu Tüm seviyelerin |ψ|²'sini göster

Grafikte bir enerji seviyesine tıklayarak o durumu seçin.

V(x)enerji seviyeleri Eₙψₙ (Eₙ seviyesinde)|ψₙ|²

Hesaplama

Bunu dene

1. Harmonik salınıcıda $\omega = 1$ seçin. Seviyeler arası fark ne kadar? Taban durum için $\Delta x\,\Delta p$ değerini okuyun; $n = 1, 2$ için nasıl değişiyor?

Açıklama

Seviyeler eşit aralıklıdır: $E_{n+1}-E_n = \hbar\omega = 1$ ve $E_0 = 0.5$. Taban durum minimum belirsizlik durumudur: $\Delta x\,\Delta p = 0.500$. Genel olarak $\Delta x\,\Delta p = (n+\tfrac12)\hbar$, yani $n = 1$ için $1.5$, $n=2$ için $2.5$.

2. Sonlu kuyuda genişliği $a = 2$ tutup derinliği $V_0 = 2$'den $V_0 = 10$'a çıkarın. Kaç bağlı durum var? Formül $N = \lceil z_0/(\pi/2)\rceil$, $z_0 = \tfrac a2\sqrt{2mV_0}/\hbar$ ile karşılaştırın. Dalga fonksiyonunun duvar dışına sızdığına dikkat edin.

Açıklama

$V_0 = 2$: $z_0 = 2.00$ ⇒ $N = 2$. $V_0 = 10$: $z_0 = 4.47$ ⇒ $N = 3$. Sonlu kuyunun enerjileri aynı genişlikteki sonsuz kuyununkinden düşüktür çünkü $\psi$ duvarların içine üstel olarak ($e^{-\kappa|x|}$) sızar ve etkin genişlik büyür.

3. Çift kuyuda engeli genişletin (ya da yükseltin). İlk iki seviye arasındaki fark $\Delta E$ nasıl değişiyor? Simetrik ve antisimetrik dalga fonksiyonlarını karşılaştırın.

Açıklama

Taban durum simetrik, birinci uyarılmış durum antisimetriktir. Engel kalınlaştıkça tünelleme zorlaşır ve $\Delta E$ yaklaşık $e^{-2\kappa b}$ gibi üstel olarak küçülür; iki seviye neredeyse çakışır. Bir kuyuda hazırlanan parçacık diğer kuyuya $T = h/\Delta E = 2\pi\hbar/\Delta E$ periyoduyla gidip gelir.

Kuantum Mekaniği I dersindeki diğer simülasyonlar

Süperpozisyon ve Zaman Evrimi Dalga Paketi: Yayılma, Saçılma ve Tünelleme Hidrojen Atomu: Dalga Fonksiyonları Spin ve Açısal Momentum Toplama