Ana sayfa › İstatistik Fizik › Kanonik Küme-I

Kanonik Küme: İki Seviyeli Sistem ve Paramanyet

T sıcaklığındaki bir ısı deposuyla dengede olan bir sistemin $E_i$ enerjili mikrodurumda bulunma olasılığı $p_i = e^{-\beta E_i}/Z$'dir; burada $\beta = 1/kT$ ve $Z = \sum_i e^{-\beta E_i}$ bölüşüm fonksiyonudur. Tüm termodinamik $Z$'den türetilir:

$$\langle E\rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta},\qquad F = -kT\ln Z,\qquad S = \frac{\langle E\rangle - F}{T},\qquad C = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{kT^2}.$$

Son eşitlik, ısı sığasının enerji dalgalanmalarıyla doğrudan ilişkili olduğunu söyler (dalgalanma–yanıt ilişkisi). Birbirinden bağımsız $N$ alt sistem için $Z_N = Z_1^N$ olur.

Negatif sıcaklık

Enerji spektrumu yukarıdan sınırlı olduğunda (iki seviye, spinler) yalıtılmış sistemin entropisi $S(E)$, $E = N\varepsilon/2$'de en büyük değerini alır. Daha yüksek enerjilerde $1/T = \partial S/\partial E < 0$ olur: nüfus terslenmiş sistem, her pozitif sıcaklıktan "daha sıcaktır".

Simülasyon:

Parametreler

Grafiğe tıklayarak sıcaklığı seçebilirsiniz. Sağ alttaki grafik yalıtılmış (mikrokanonik) sistemin $T(E)$ ilişkisini gösterir; tıklayarak enerjiyi seçin.

Hesaplama

Bunu dene

1. İki seviyeli sistemde ısı sığasının en büyük olduğu sıcaklığı bulun. $kT/\varepsilon$ ve $C_{\max}/Nk$ ne kadardır? Çok düşük ve çok yüksek sıcaklıklarda $C$ neden sıfıra gider?

Açıklama

Schottky tepesi $kT \approx 0.417\,\varepsilon$'da, $C_{\max} \approx 0.439\,Nk$ değerindedir. Düşük $T$'de neredeyse hiçbir sistem uyarılamaz; yüksek $T$'de iki seviye eşit dolar ($p_0 = p_1 = 1/2$) ve enerji artık sıcaklıkla değişmez. Katılardaki fonon ısı sığasında böyle bir doyum olmaz, çünkü salınıcının sonsuz sayıda seviyesi vardır.

2. Paramanyet modunda Gd³⁺ ($J = 7/2$, $g = 2$) seçin. $B/T = 1\ \text{T/K}$'de iyon başına mıknatıslanma kaç $\mu_B$'dir? Doyum değeri ne kadardır? Aynı noktada Curie yasası ne verir?

Açıklama

$x = g\mu_B J B/kT = 2(0.6717)(3.5)(1) = 4.70$ ve $B_J(4.70) \approx 0.90$ olduğundan $M \approx 6.29\,\mu_B$ bulunur. Doyum $gJ = 7\,\mu_B$'dir. Curie yasası doğrusaldır ve $x \ll 1$ için geçerlidir; burada doyumu hiç göstermez, dolayısıyla çok yüksek bir değer verir. Henry (1952) deneyi bu eğrileri Cr³⁺, Fe³⁺ ve Gd³⁺ tuzları için doğrulamıştır.

3. Metropolis modunda $N = 100$, $kT/\mu B = 1$ seçin ve birkaç bin taramaya kadar bekleyin. Ortalama $\langle s\rangle$ neye yakınsıyor? Örneklenen $n_\uparrow$ histogramı neden binom dağılımına uyuyor?

Açıklama

Kesin değer $\langle s\rangle = \tanh(\mu B/kT) = \tanh 1 = 0.762$'dir; koşu ortalaması istatistiksel hata içinde buna yaklaşır. Spinler bağımsız olduğu için her biri $p_\uparrow = e^{\beta\mu B}/(2\cosh\beta\mu B) = 0.881$ olasılıkla yukarı bakar; $n_\uparrow$ sayısı da binom dağılımına uyar (ortalama 88.1, standart sapma ≈ 3.2). Ardışık örnekler ilintili olduğundan etkin bağımsız örnek sayısı adım sayısından küçüktür.

İstatistik Fizik dersindeki diğer simülasyonlar

Galton Tahtası, Merkezi Limit ve Rastgele Yürüyüş Einstein Katısı: Mikrodurumlar, Entropi ve Sıcaklık Ehrenfest Kutuları ve Tersinmezlik İki Atomlu İdeal Gazın Isı Sığası Özdeş Parçacıklar: Mikrodurum Sayımı ve Gibbs Paradoksu Moleküler Demet ve Maxwell–Boltzmann Hız Dağılımı Langmuir Adsorpsiyonu ve Büyük Kanonik Monte Carlo Bose–Einstein Yoğuşması ve Kuantum İstatistikleri İki Boyutlu Ising Modeli ve Faz Geçişleri