Ana sayfa › İstatistik Fizik › İstatistiksel Fiziğin Kavramları · Entropi

İki Einstein Katısı: Mikrodurumlar, Entropi ve Sıcaklık

Einstein katısı, enerji kuantumu $\varepsilon = \hbar\omega$ olan $N$ özdeş harmonik salınıcıdan oluşur. $q$ kuantumun $N$ salınıcıya dağıtılma sayısı (çokluk): $$\Omega(N, q) = \binom{q + N - 1}{q} = \frac{(q+N-1)!}{q!\,(N-1)!}.$$ İki katı ($N_A$, $N_B$) toplam $q$ kuantumu paylaşırsa, her mikrodurum eşit olasılıklıdır (temel varsayım). Bu yüzden $q_A$ makrodurumunun olasılığı $P(q_A) \propto \Omega_A(q_A)\,\Omega_B(q - q_A)$ olur ve büyük sistemlerde çok keskin bir tepe verir.

Entropi $S = k\ln\Omega$. Tepede $\ln(\Omega_A\Omega_B)$ en büyüktür, yani $$\frac{\partial S_A}{\partial U_A} = \frac{\partial S_B}{\partial U_B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{T} \equiv \frac{\partial S}{\partial U}\ \text{ iki katıda eşittir.}$$ Isıl denge, sıcaklıkların eşitlenmesidir; ısı, entropiyi artıracak yönde (sıcaktan soğuğa) akar.

Büyük N için kapalı sıcaklık formülü

Stirling yaklaşımıyla $\dfrac{\varepsilon}{kT} = \dfrac{\partial\ln\Omega}{\partial q} \approx \ln\!\left(1 + \dfrac{N}{q}\right)$, yani $\langle n\rangle = \dfrac{q}{N} = \dfrac{1}{e^{\varepsilon/kT} - 1}$ (Planck doluluğu).

Görünüm:

Parametreler

Dikey eksen logaritmik

Üstteki grafiğe tıklayarak q_A değerini seçebilirsiniz.

Hesaplama

Küçük sistemler için Ω(N, q) tablosu

Bunu dene

1. $N_A = 3$, $N_B = 3$, $q = 6$ seçin. Tüm makrodurumların çokluklarını tablodan/grafikten okuyun. Toplam mikrodurum sayısı kaç? En olası makrodurumun olasılığı nedir?

Açıklama

$\Omega(3,q) = \binom{q+2}{2}$: $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28$. Çarpımlar $q_A = 0\ldots6$ için $28, 63, 90, 100, 90, 63, 28$; toplam $462 = \Omega(6, 6) = \binom{11}{6}$ (altı salınıcıya altı kuanta). En olası makrodurum $q_A = 3$: $P = 100/462 = 0.216$.

2. $N_A = N_B = 300$, $q = 300$ seçin ve $q_A$'yı tepeye getirin. $kT_A/\varepsilon$ ile $kT_B/\varepsilon$'yi karşılaştırın. Tepeden 20 kuanta sola kaydığınızda olasılık oranı kaç kat düşer?

Açıklama

Tepe $q_A = 150$'de; sıcaklıklar eşittir: $kT/\varepsilon \approx 1/\ln(1 + 300/150) = 0.910$. Tepenin standart sapması $\sigma \approx 10.6$ kuantum (bağıl olarak $\sigma/150 \approx 7\%$). 20 kuanta sola kayınca olasılık oranı $P(130)/P(150) \approx 0.17$ olur — Gauss yaklaşımıyla $e^{-20^2/2\sigma^2} = 0.17$.

3. Dinamik görünümde $N_A = 100$, $N_B = 300$, $q = 200$ ve başlangıçta tüm kuantaları A'ya verin. Hangi katı başlangıçta "sıcak"? Denge durumunda $q_A$ ne olur? Sonra tüm sayıları 1/10'a indirip dalgalanmaları karşılaştırın.

Açıklama

Başlangıçta $T_B = 0$, A sıcaktır; enerji A'dan B'ye akar. Dengede kuanta salınıcı sayısıyla orantılı paylaşılır: $\langle q_A\rangle = q\,N_A/(N_A+N_B) = 50$; o zaman $q_A/N_A = q_B/N_B = 0.5$ ve $T_A = T_B$. Küçük sistemde ($N_A = 10$, $N_B = 30$, $q = 20$) $q_A$ dengede $5$ etrafında göreli olarak çok daha büyük dalgalanır ($\propto 1/\sqrt N$).

İstatistik Fizik dersindeki diğer simülasyonlar

Galton Tahtası, Merkezi Limit ve Rastgele Yürüyüş Ehrenfest Kutuları ve Tersinmezlik İki Seviyeli Sistem, Paramanyet ve Metropolis İki Atomlu İdeal Gazın Isı Sığası Özdeş Parçacıklar: Mikrodurum Sayımı ve Gibbs Paradoksu Moleküler Demet ve Maxwell–Boltzmann Hız Dağılımı Langmuir Adsorpsiyonu ve Büyük Kanonik Monte Carlo Bose–Einstein Yoğuşması ve Kuantum İstatistikleri İki Boyutlu Ising Modeli ve Faz Geçişleri