Olasılık ve İstatistik: Galton Tahtası, Merkezi Limit, Rastgele Yürüyüş
Bir top $n$ sıra çividen geçerken her çivide $p$ olasılıkla sağa sapar. Sağa sapma sayısı $k$ binom dağılımına uyar: $$P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \langle k\rangle = np,\qquad \sigma^2 = np(1-p).$$ Büyük $n$ için bu dağılım Gauss eğrisine yaklaşır. Bağıl genişlik $\sigma/n \propto 1/\sqrt n$ küçülür; istatistik fizikteki makroskopik niceliklerin keskinliğinin kökeni budur.
Merkezi limit teoremi: ortalaması $\mu$, varyansı $\sigma^2$ olan herhangi bir dağılımdan alınan $n$ elemanlı örneğin ortalaması, büyük $n$ için ortalaması $\mu$ ve standart sapması $\sigma/\sqrt n$ olan bir Gauss dağılımına uyar.
Rastgele yürüyüş ve difüzyon
Birim adımlarla rastgele yürüyen bir parçacık için $\langle x\rangle = 0$, $\langle x^2\rangle = t$ (adım sayısı) olur. Bu, difüzyon denkleminin çözümü $P(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}$ ile $\langle x^2\rangle = 2Dt$ (1B), $\langle r^2\rangle = 4Dt$ (2B) eşitliklerine karşılık gelir; burada $D = 1/2$ (1B) ve $D = 1/4$ (2B kare örgü) adım²/adım'dır.
Parametreler
Hesaplama
Bunu dene
1. Galton tahtasında $n = 20$, $p = 0.5$ seçip en az 2000 top düşürün. Ölçülen ortalama ve standart sapmayı kuramla karşılaştırın. Sonra $p = 0.2$ yapın: dağılım neden asimetrikleşir?
Açıklama
2. Merkezi limit modunda üstel dağılımı seçin. $n = 1, 2, 5, 30$ için örnek ortalamalarının histogramının biçimine bakın. $n = 30$ için genişliği ölçüp $\sigma/\sqrt n$ ile karşılaştırın.
Açıklama
3. Rastgele yürüyüşte 1B, 1000 yürüyücü ile 400 adım ilerletin. $\langle x^2\rangle$ grafiğinin eğimini okuyun. 2B'ye geçince $\langle r^2\rangle$ eğimi ne olur? $D$ değerlerini bulun.