Ana sayfa › İstatistik Fizik › Entropi ve Termodinamiğin İkinci Yasası

Ehrenfest Kutuları ve Tersinmezlik: Entropi Neden Artar?

Ehrenfest modeli (köpek–pire modeli): iki kutuda toplam $N$ top var. Her adımda $N$ toptan biri rastgele seçilip öbür kutuya atılır. Kurallar zamanda tersinirdir, ama sol kutudaki top sayısı $n_L$ hemen her zaman $N/2$'ye doğru gider. Makrodurum $n_L$'nin çokluğu ve entropisi $$\Omega(n_L) = \binom{N}{n_L},\qquad S = k\ln\Omega,\qquad P(n_L) = \frac{1}{2^N}\binom{N}{n_L}.$$ Ortalama, başlangıç değerinden üstel olarak dengeye yaklaşır: $\langle n_L(t)\rangle - \tfrac N2 = \left(n_L(0) - \tfrac N2\right)\left(1 - \tfrac 2N\right)^t$.

Tekrar (Poincaré–Kac): sistem başladığı duruma mutlaka geri döner; $n$ durumuna ortalama dönüş süresi $\tau(n) = 2^N/\binom{N}{n}$ adımdır. Tüm topların solda olduğu durum için $\tau = 2^N$: $N = 10$ için 1024 adım, $N = 100$ için $\approx 1.3\times10^{30}$ adım. Tersinmezlik, kuralların değil, olasılıkların sonucudur.

Makroskopik genleşme ile bağlantı

İdeal gazın hacmi $V_1$'den $V_2 = rV_1$'e çıkınca her molekül için konum sayısı $r$ katına çıkar: $\Delta S = Nk\ln r = nR\ln r$. Bu sistem entropisi değişimi, süreç nasıl yapılırsa yapılsın aynıdır (durum fonksiyonu). Süreç türünü belirleyen, çevrenin entropi değişimi ve dolayısıyla $\Delta S_{\text{evren}} = \Delta S_{\text{sis}} + \Delta S_{\text{çevre}} \ge 0$ eşitsizliğidir (Clausius: $dS \ge \delta Q/T$).

Simülasyon:

Parametreler

Hesaplama

Bunu dene

1. $N = 10$ seçin ve birkaç kez "+10⁶ adım"a basın. Ölçülen ortalama dönüş süresini (tüm toplar solda) Kac formülüyle karşılaştırın. Sonra $N = 20$ deneyin. $N = 100$ için saniyede $10^6$ adımla dönüşü ne kadar beklerdiniz?

Açıklama

$N = 10$: $\tau = 2^{10} = 1024$ adım; $10^6$ adımda yaklaşık 1000 dönüş olur, ölçüm birkaç yüzde içinde tutmalıdır. $N = 20$: $\tau = 2^{20} \approx 1.05\times10^6$ adım, birkaç milyon adımda ancak birkaç dönüş görülür (büyük istatistik hata). $N = 100$: $\tau \approx 1.27\times10^{30}$ adım; $10^6$ adım/s ile $\approx 1.3\times10^{24}$ s $\approx 4\times10^{16}$ yıl, evrenin yaşının ($1.4\times10^{10}$ yıl) milyonlarca katı.

2. $N = 50$ ile başlatın ve $t = 25$ adımdaki $n_L$ değerini okuyun (adım adım ilerletmek için hızı düşürün). Dengede $n_L$ hangi aralıkta dalgalanır?

Açıklama

$\langle n_L(25)\rangle = 25 + 25\,(0.96)^{25} = 25 + 25\times0.360 \approx 34.0$. Tek bir koşuda değer bunun çevresinde birkaç top sapabilir. Dengede $n_L$ ortalaması $25$, standart sapması $\sqrt N/2 \approx 3.5$ olan binom dağılımına uyar; histogram turuncu noktalarla örtüşmelidir. Bağıl dalgalanma $1/\sqrt N$ ile küçülür.

3. Genleşme modunda $n = 1$ mol, $T = 300$ K, $V_2/V_1 = 2$ seçin. Üç süreç için $W$, $Q$ ve $\Delta S_{\text{evren}}$ değerlerini karşılaştırın. Ani genleşmede "kaybedilen iş" nedir?

Açıklama

Üçünde de $\Delta S_{\text{sis}} = R\ln 2 = 5.76$ J/K. Serbest genleşme: $W = Q = 0$, $\Delta S_{\text{evren}} = 5.76$ J/K. Tersinir izotermal: $W = Q = RT\ln2 = 1729$ J, $\Delta S_{\text{evren}} = 0$. Sabit dış basınca ($P_{\text{dış}} = P_2$) karşı ani genleşme: $W = Q = RT(1 - 1/2) = 1247$ J, $\Delta S_{\text{evren}} = R(\ln 2 - 1/2) = 1.61$ J/K. Kaybedilen iş $T\Delta S_{\text{evren}} = 482$ J $= W_{\text{tersinir}} - W$.

İstatistik Fizik dersindeki diğer simülasyonlar

Galton Tahtası, Merkezi Limit ve Rastgele Yürüyüş Einstein Katısı: Mikrodurumlar, Entropi ve Sıcaklık İki Seviyeli Sistem, Paramanyet ve Metropolis İki Atomlu İdeal Gazın Isı Sığası Özdeş Parçacıklar: Mikrodurum Sayımı ve Gibbs Paradoksu Moleküler Demet ve Maxwell–Boltzmann Hız Dağılımı Langmuir Adsorpsiyonu ve Büyük Kanonik Monte Carlo Bose–Einstein Yoğuşması ve Kuantum İstatistikleri İki Boyutlu Ising Modeli ve Faz Geçişleri