Katıların Isı Sığası: Einstein ve Debye Modelleri
Klasik eşbölüşüm her atomun 3 boyutlu salınımına $3k_BT$ enerji verir; böylece $C_V = 3Nk_B$ (Dulong–Petit) sabit olur. Deneyde ise $C_V$ düşük sıcaklıkta sıfıra gider. Bunun nedeni titreşim enerjisinin kuantumlu olmasıdır: ortalama fonon sayısı $\langle n\rangle = 1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$.
Einstein: tüm atomlar aynı frekansla titreşir ($\theta_E = \hbar\omega_E/k_B$): $$\frac{C_V}{3Nk_B} = \left(\frac{\theta_E}{T}\right)^2\frac{e^{\theta_E/T}}{(e^{\theta_E/T}-1)^2}$$ Debye: akustik fononlar $\omega = v_s k$ ile $\omega_D$'ye kadar uzanır, $g(\omega)\propto\omega^2$ ($\theta_D = \hbar\omega_D/k_B$): $$\frac{C_V}{3Nk_B} = 3\left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3\int_0^{\theta_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\,dx \;\xrightarrow{T\ll\theta_D}\; \frac{4\pi^4}{5}\left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3$$
Metallerde elektron katkısı
İletim elektronları $C_\text{el} = \gamma T$ katkısı verir. Düşük sıcaklıkta $C = \gamma T + \beta T^3$ olduğundan $C/T$ – $T^2$ grafiği doğrudur: kesişim $\gamma$, eğim $\beta = \frac{12\pi^4}{5}\frac{Nk_B}{\theta_D^3}$.
Parametreler
Grafiğe tıklayarak bir sıcaklık seçin; hesap paneli o sıcaklıktaki değerleri ve Debye integralinin integrandını gösterir.
Hesaplama
Bunu dene
1. Bakır için ($\theta_D = 343$ K) oda sıcaklığında (300 K) Debye modeli $C_V/3Nk_B$ için ne veriyor? Dulong–Petit yasası oda sıcaklığında bakır için iyi bir yaklaşım mı?
Açıklama
2. Elmas ($\theta_D = 2230$ K) için 300 K'deki değeri bulun. Neden elmas oda sıcaklığında "klasik" davranmaz?
Açıklama
3. Log–log görünüme geçin, $\theta_E = \theta_D$ alın ve $T = 0.05\,\theta$ civarında iki modeli karşılaştırın. Hangisi deneysel $T^3$ davranışını verir? Neden?