Ana sayfa › Katıhal Fiziği I › Fononlar: Kristal Titreşimleri

Atom Zincirinde Fononlar

Kristaldeki atomlar komşularına yaylarla (kuvvet sabiti $C$) bağlı gibi davranır. Bir boyutlu zincirde $u_n \propto e^{i(kna-\omega t)}$ biçimindeki normal modlar için hareket denklemi, frekans ile dalga sayısı arasında bir dispersiyon bağıntısı verir. Tek atomlu zincirde (kütle $m$, örgü sabiti $a$): $$\omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{m}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|$$

Atomlar yalnızca $x_n = na$ noktalarında bulunduğundan $k$ ile $k + 2\pi/a$ aynı atom hareketini verir; bu yüzden fiziksel olarak farklı tüm modlar 1. Brillouin bölgesinde $(-\pi/a < k \le \pi/a)$ toplanır. Küçük $k$ için $\omega \approx v_s k$ (ses dalgası), bölge sınırında grup hızı $v_g = d\omega/dk$ sıfırdır (duran dalga).

İki atomlu zincir

Hücrede kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki atom varsa iki dal oluşur: $$\omega^2 = C\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \pm C\sqrt{\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)^2 - \frac{4\sin^2(ka/2)}{m_1 m_2}}$$ Alt dal akustik (komşu atomlar aynı fazda), üst dal optik (zıt fazda) daldır. $m_1 \ne m_2$ ise bölge sınırında $\sqrt{2C/m_\text{büyük}}$ ile $\sqrt{2C/m_\text{küçük}}$ arasında bir frekans aralığı açılır.

Zincir:

Parametreler

Yer değiştirmeyi dikey göster (enine gösterim) Sürekli dalgayı ve eşdeğer k'yı çiz

Dispersiyon grafiğine tıklayarak bir $(k,\omega)$ noktası seçin. Gri bölge 1. Brillouin bölgesidir; dışına tıklarsanız aynı atom hareketinin bölge içindeki eşdeğer $k$ ile elde edildiğini görürsünüz.

akustik daloptik dalses hızı doğrusu ω = v_s kseçili mod

Hesaplama

Bunu dene

1. Tek atomlu zincirde (C = 20 N/m, m = 40 u, a = 3.0 Å) çok küçük bir $k$ seçin. Grup hızı ses hızına ne kadar yakın? Ses hızı kaç m/s?

Açıklama

$v_s = a\sqrt{C/m} = (3.0\times10^{-10})\sqrt{20/(40\times1.6605\times10^{-27})} \approx 5.2\times10^{3}\ \text{m/s}$. Küçük $k$ için $\omega \approx v_s k$ olduğundan grup ve faz hızı ikisi de buna eşit olur.

2. Aynı zincirde $k = \pi/a$ (bölge sınırı) seçin. Komşu atomlar nasıl hareket ediyor? Grup hızı nedir? Sonra $k = 2\pi/a$'ya tıklayın: ne değişti?

Açıklama

Bölge sınırında komşu atomlar zıt fazda titreşir, $\omega_\max = 2\sqrt{C/m} \approx 3.47\times10^{13}$ rad/s ve $v_g = 0$ (duran dalga). $k = 2\pi/a$ ise $k=0$'a eşdeğerdir: atomların hepsi aynı yer değiştirmeye sahiptir, sürekli dalga atomlar arasında hızla salınsa da atomlar hareketsiz kalır.

3. İki atomlu zincirde $m_1 = 40$ u, $m_2 = 80$ u alın. Bölge sınırındaki akustik ve optik frekansları okuyun. $m_2$'yi $40$ u'ya düşürünce aralığa ne oluyor?

Açıklama

Sınırda $\omega_\text{ak} = \sqrt{2C/m_2} \approx 1.74\times10^{13}$ rad/s ve $\omega_\text{op} = \sqrt{2C/m_1} \approx 2.45\times10^{13}$ rad/s; aradaki frekanslarda yayılan dalga yoktur. $m_1 = m_2$ olunca aralık kapanır: bu artık örgü sabiti $a/2$ olan tek atomlu zincirdir, dallar onun "katlanmış" hâlidir.

Katıhal Fiziği I dersindeki diğer simülasyonlar

Kristal Örgüler ve Miller Düzlemleri Ters Örgü, Brillouin Bölgeleri ve Ewald Yapısı Katıların Isı Sığası: Einstein ve Debye Serbest Elektron Fermi Gazı ve Drude Modeli