WKB Yaklaşımı: Kuantlama ve Tünelleme

Potansiyel, dalga boyuna göre yavaş değişiyorsa ($|d\lambda/dx| \ll 1$) Schrödinger denkleminin yaklaşık çözümü klasik momentum $p(x) = \sqrt{2m(E-V(x))}$ ile yazılır. Klasik izinli bölgede $$\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}}\cos\!\left(\frac1\hbar\int_{x_1}^{x} p\,dx' - \frac{\pi}{4}\right),$$ yasak bölgede ise $\psi \approx \frac{C'}{\sqrt{|p|}}\exp\!\left(-\frac1\hbar\int |p|\,dx\right)$ olur. $-\pi/4$ fazı, dönüm noktalarındaki bağlantı formüllerinden gelir (Airy fonksiyonu ile eşleme).

Her iki dönüm noktasında yumuşak duvar varsa kuantlama koşulu $$\int_{x_1}^{x_2} p(x)\,dx = \left(n+\tfrac12\right)\pi\hbar,\qquad n = 0,1,2,\dots$$ olur. Bir engelden tünelleme olasılığı ise $T \approx e^{-2\gamma}$, $\gamma = \frac1\hbar\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m(V-E)}\,dx$ ile verilir.

Birimler: $\hbar = m = 1$. "Tam" sonuçlar: kuantlamada ızgara üzerinde sonlu fark özdeğer çözümü, tünellemede ince parçalı-sabit potansiyelde transfer matrisi.