Kronig–Penney Modeli ve Enerji Bantları
Periyodu $a$ olan bir potansiyelde elektron dalga fonksiyonları Bloch biçimindedir: $\psi_k(x+a) = e^{ika}\psi_k(x)$. Kronig–Penney modelinde potansiyel, genişliği $w = a-b$ olan kuyular ile yüksekliği $V_0$, genişliği $b$ olan bariyerlerden oluşur. Kuyuda ve bariyerde çözümleri birleştirip Bloch koşulunu uygulamak ($E<V_0$ için) şu denklemi verir: $$\cos ka = \underbrace{\cos\alpha w\,\cosh\beta b + \frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\,\sin\alpha w\,\sinh\beta b}_{f(E)},\qquad \alpha = \sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^2}},\ \ \beta = \sqrt{\tfrac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$$ ($E>V_0$ için $\beta \to i\gamma$: $\cosh \to \cos$, $\sinh \to \sin$ ve kesrin işareti değişir.) Gerçel $k$ yalnızca $|f(E)| \le 1$ olan enerjilerde vardır: bunlar izinli bantlar, aradaki enerjiler yasak aralıklardır.
Neredeyse serbest elektron sınırında (zayıf potansiyel) $n$. bölge sınırında ($k = n\pi/a$) açılan aralık, potansiyelin Fourier bileşeniyle verilir: $E_g \approx 2|U_n|$. Merkezli bariyer dizisi için $U_n = V_0\,\dfrac{\sin(n\pi b/a)}{n\pi}$.
Bant başına durum sayısı, delta tarağı sınırı ve etkin kütle
$N$ hücreli bir kristalde (periyodik sınır koşulu) her bantta tam $N$ farklı $k$ değeri, spinle birlikte $2N$ durum vardır. Bu yüzden hücre başına tek sayıda değerlik elektronu olan bir kristal metal olur; çift sayıda elektronda bantlar tam dolabilir ve kristal yalıtkan ya da yarıiletken olabilir.
$V_0 \to \infty$, $b \to 0$ alınıp $V_0 b$ sabit tutulursa bariyerler delta fonksiyonlarına dönüşür: $\cos ka = \cos \alpha a + P\,\dfrac{\sin\alpha a}{\alpha a}$, burada $P = \dfrac{m V_0 b a}{\hbar^2}$.
Bant kenarı yakınında $E(k)$ parabol gibidir ve elektron etkin kütle $m^* = \hbar^2 / (d^2E/dk^2)$ ile hareket eder. Bandın tepesinde $m^* < 0$ olur.
Parametreler
Sağdaki $E(k)$ grafiğinde bir noktaya ya da soldaki $f(E)$ grafiğinde bir enerjiye tıklayın. Seçilen durumun Bloch dalga fonksiyonu alttaki grafikte çizilir. Birimler: Å ve eV ($\hbar^2/2m_e = 3.81$ eV·Å²).
Hesaplama
Bunu dene
1. "Zayıf potansiyel örneği" düğmesine basın ($a = 5$ Å, $b = 1$ Å, $V_0 = 0.5$ eV). Birinci yasak aralığın sayısal genişliğini neredeyse serbest elektron tahmini $2|U_1|$ ile karşılaştırın. Sonra $V_0 = 0$ yapın: ne oluyor?
Açıklama
2. $a = 5$ Å, $b = 1$ Å seçin ve $V_0$'ı 3 eV'tan 20 eV'a çıkarın. Birinci bandın genişliği ve bant tabanındaki etkin kütle nasıl değişiyor?
Açıklama
3. 1. aralığın alt ve üst kenarındaki durumları ($k = \pi/a$) seçip $|\psi|^2$'nin nerede yoğunlaştığına bakın. Hangi durum bariyerlerden kaçıyor? Enerji farkını bununla açıklayın.