Multipol Açılımı
Bir yük dağılımının, dağılımın dışındaki ($r > r'_{\max}$) potansiyeli $1/|\vec r - \vec r^{\,\prime}|$ ifadesinin Legendre polinomlarıyla açılımından elde edilir:
$$V(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\sum_i q_i\, r_i'^{\,l}\,P_l(\cos\gamma_i)$$Burada $\gamma_i$, $\vec r$ ile $\vec r_i^{\,\prime}$ arasındaki açıdır. İlk terimler: monopol $Q/r$, dipol $\vec p\cdot\hat r/r^2$, kuadrupol $\hat r\cdot\mathsf{Q}\cdot\hat r/(2r^3)$.
$$Q = \sum q_i,\qquad \vec p = \sum q_i\,\vec r_i^{\,\prime},\qquad Q_{jk} = \sum q_i\,(3x'_{ij}x'_{ik} - r_i'^2\delta_{jk})$$Yakınsama ve orijin
Seri yalnızca $r > r'_{\max}$ için yakınsar; $l_{\max}$'ta kesilince kalan hata yaklaşık $(r'_{\max}/r)^{l_{\max}+1}$ ile orantılı küçülür, mutlak hata ise $r^{-(l_{\max}+2)}$ gibi azalır. Bir dağılımın ilk sıfırdan farklı momenti orijin seçiminden bağımsızdır; örneğin $Q\neq0$ ise dipol momenti orijine bağlıdır: $\vec p^{\,\prime} = \vec p - Q\,\vec d$.
Parametreler
Yükleri ve orijin işaretini (✛) sürükleyin. Yüke tıklayınca seçilir ve değeri sürgüyle değişir. Boş bir yere tıklayınca o noktada terimler tek tek hesaplanır.
Hesaplama
Bunu dene
1. Lineer kuadrupol ($+5,\,-10,\,+5$ nC; $x = -0.25, 0, 0.25$ m) için $r = 1$ m, $\varphi = 0$ noktasında tam potansiyeli ve $l = 2, 4, 6$ terimlerini karşılaştırın. Neden tek $l$ terimleri sıfır?
Açıklama
2. "Monopol" dağılımını seçin ($q = 5$ nC, $(0.3, 0.2)$ m). Orijin $(0,0)$ iken $\vec p$ nedir? Orijini yükün üzerine sürükleyin: ne değişti, uzak alan neden değişmedi?
Açıklama
3. Lineer kuadrupolde $l_{\max} = 6$ iken $r$'yi $r'_{\max} = 0.25$ m'nin altına indirin. Hata grafiğinde ne görüyorsunuz?