Laplace Denklemi: Sayısal Gevşeme ve Değişkenlere Ayırma
Yükten arınmış bölgede elektrostatik potansiyel $\nabla^2 V = 0$ denklemini sağlar; çözüm sınırdaki değerlerle tek olarak belirlenir. Kenar uzunluğu $h$ olan bir ızgarada sonlu farklarla yazılınca her iç noktadaki potansiyel, dört komşusunun ortalaması olur:
$$V_{i,j} = \tfrac14\left(V_{i+1,j} + V_{i-1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j-1}\right) \;\big(+\tfrac14 h^2\rho_{i,j}/\varepsilon_0\ \text{Poisson için}\big).$$Gevşeme yöntemi bu ortalamayı tekrar tekrar uygular. Aşırı gevşemede (SOR) düzeltme $\omega$ katsayısıyla büyütülür: $V \leftarrow V + \omega\,(V_{\text{ort}} - V)$; $1<\omega<2$ yakınsamayı çok hızlandırır, en iyi değer $N$ noktalı kare ızgara için yaklaşık $\omega_{\text{opt}} = 2/(1+\sin(\pi/N))$'dir.
Dikdörtgen kutuda ($0\le x\le a$, $0\le y\le b$) üst kenarı $V_0$, diğer kenarları 0 olan problemin değişkenlere ayırma çözümü:
$$V(x,y) = \frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac{1}{n}\,\sin\frac{n\pi x}{a}\,\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)} .$$Ortalama değer özelliği ve tekillik
Laplace denkleminin çözümleri için bir çember üzerindeki ortalama, çemberin merkezindeki değere eşittir (çember içinde yük yoksa). Bu yüzden yükten arınmış bölgede potansiyelin yerel maksimumu ya da minimumu olamaz; uçdeğerler sınırdadır. Köşelerde sınır değeri süreksiz olduğundan seri orada yavaş yakınsar ve sınır çizgisi üzerinde Gibbs aşımı görülür: aşım sıçramanın ≈ %9'udur; tek uzatmada sıçrama $2V_0$ olduğundan seri köşe yanında ≈ $1.18\,V_0$ değerine çıkar.
Parametreler
Haritaya tıklayınca o noktadaki V ve E hesaplanır.
Hesaplama
Bunu dene
1. Kare kutuda (b/a = 1) "Üst kenar V₀" seçin ve gevşetin. Kutunun merkezindeki potansiyel kaç volt? Neden tam olarak V₀/4?
Açıklama
2. ω = 1.00 (Gauss–Seidel) ile ω ≈ ωopt arasında yakınsama hızını karşılaştırın: artığın 10⁻⁶'ya inmesi için kaç yineleme gerekiyor?
Açıklama
3. Kesit yüksekliğini y = b (üst kenar) yapın ve seri terim sayısını artırın. Kenar üzerinde seri $V_0$ değerini aşıyor mu? Aşım terim sayısıyla kayboluyor mu?